Funciones Cuadráticas

-Función poli nominal del 2do grado
-Su gráfica es una parábola
-Función: F(x) ax + bx + c
Donde “a” y “b” son constantes y “c” es la intersección en “y”

Ejemplos:


f (x) = 2x 2 + 2 x - 4






F(x)= x2 -2 x - 3

Puntos críticos, máximos & mínimos

El punto Crítico.

S ubica en el punto tangencial de una recta horizontal, la cuál tiene pendiente igual a 0
En una parábola de función cuadrática el punto crítico se ubica en el vértice.







Para determinar la coordenada del punto crítico es necesario.

1) Resolver la primera derivada de la función.

F(x) = x²-4x+5
F’(x)= 2x-4

2) Igualar la función a 0

2x-4=02
2x=0+4
X=4/2
X=2

3) Sustituir el valor de x en la función original

F(x)=x²-4x+5
F(2)= (2)²-4(2)+5
Y=4-8+5
Y=1 (2,1)

Ejemplos:

La línea tangente

La linea tangente es la recta que toca un punto de la curva y el punto en común entre la tangente y la curva es el punto de tangencia.
Para determinar la ecuación de una linea recta, conocida la pendiente y un punto de la misnma, se emplea la forma punto pendiente y-y=m(x-x).
Dado lo anterior, para determinar la ecuación de la linea tangente a una curva de una funcion f(x) en un punto de tangencia p(x,y), se sugieren los siguientes pasos:

1. Definir las coordenadas del punto de tangencia en el valor x¡ dado.
2. Calcular la pendiente empleando la derivada, ya que m=f´(x).
3. Determinar la ecuación de la tangente utilizando la forma punto-pendiente y-y= m(x-x).

La linea normal

La recta normal es una linea que coincide y la linea tangente en un punto llamado tangencia
La ecuación de la linea normal tambien se determina por la ecuación de la forma punto pendiente y-y= m(x-x). y su pendiente en la ecuación m=1/f´(x)
Existen 2 procesos para determinar la ecuación de la linea tangente y depende de los datos que nos proporcionan.

Pasos para determinar la ecuación normal de la curva

1. determinar “y” sustituyendo “x” en la ecuación original
2. determinar la pendiente
3. sustituir en la ecuación punto pendiente

Reglas de la derivada

a derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
si una función es: f(x)=axⁿ
Su derivada es: f´(x)=anxⁿ-1


Reglas de la derivada
1. Para una constante “a”

Si f(x)=a, su derivada es f´(x)=0

Ej. f(x)= 4 su derivada es f´(x)=0


2. Para la función de identidad f(x)=x

Si f(x)=x, su derivada es f´(x)=1

Ej. F(x)= x su derivada es f´(x)= 1


3. Para una constante “a” por una variable “x”:

Si f(x): ax, su derivada es f´(x)=a

Ej. F(x)=2x, su derivada es f´(x)=2


4. Para una variable “x” elevada a una potencia “n”:

Si f(x)= xⁿ, su derivada es f´(x)=nxⁿ-1

Ej. F(x)=x³, su derivada es f´(x)=3x²


5. Para una constante “a” por una variable “x” elevada a la potencia “n”:

Si f(x)=axⁿ, su derivada es igual a f´(x)=anxⁿ-1

Ej. F(x)= 3x², su derivada es f´(x)= 6x



6. Para una suma de funciones

Si f(x)= u(x)+ v(x), su derivada es f´(x)= u´(x)+v´(x)

Ej. Si f(x)= 4x³ + 2x, su derivada es f´(x)=12x²+2

En ocaciones no es fácil transformar una función a la forma f(x)= axⁿ, por lo que enestos casos no podrías encontrar la derivada siguiendo la regla mencionadaanteriormente. Cuando ocurra esto puedes emplear otras reglas de la derivacion entre las cuales esan las siguientes.

7. Regla del producto
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la multiplicación de polinomios, como por ejemplo: f(x)=(3x²+4)(2x³-6); la regla del producto es:
Si “u” y “v” son los polinomios:
La función: f(x)=un
Su derivada: f´(x)=u´v+ uv


8. Regla del cociente
Esta regla es útil cuando se tiene una función formada de la división de polinomios, como por ejemplo: f(x)= 2x3 + 3 ;
3x4 – 5
la regla de cociente es:
Si “u” y “v” son los polinomios:
La funcion: f(x) = u
v
Su derivada: f’(x) = u’v – uv’

Regla de la cadena

Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo:
f(x) = (2x3 + 3)5; la regla de cadena es:
Si “u” es el polinomio:
La funcion: f(x) = un
Su derivada: f’(x) = n(u)n-1(u’)
v2